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title: "自映射 (Self-Map)"
type: concept
tags: [math, recursion, formalization, fixed-point]
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## Definition
自映射是集合到自身的映射。在递归自优化生成系统中，自映射 $\Phi: \mathcal{G} \to \mathcal{G}$ 定义为：
$$\Phi(G) = M\big(G,\; O(G(I),\; \Omega)\big)$$

即：给定当前生成器 $G$，执行一次"生成→优化→更新"循环后得到新生成器 $\Phi(G)$。

## Core Insight
自映射是递归自优化系统的核心数学结构。迭代应用 $\Phi$ 产生生成器序列 $\{G_n\}$：
$$G_{n+1} = \Phi(G_n)$$

系统的收敛目标不是某个具体输出，而是在生成器空间中找到一个不动点。

## Properties
- 迭代性：对 $G_0$ 反复应用 $\Phi$ 得到序列 $\{G_n\}$
- 收敛性：当 $\Phi$ 满足连续性或收缩性条件时，序列收敛到 $G^*$
- 自引用：$G_n$ 既是被更新的对象，又是更新的执行者

## Relationship to Fixed Point
- 自映射 $\Phi$ 的不动点 $G^*$ 满足 $\Phi(G^*) = G^*$
- 不动点代表"生成能力已达到稳定状态，无需进一步更新"

## Source
- [[A Formalization of Recursive Self-Optimizing Generative Systems]]