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title: "Hosmer-Lemeshow Test"
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type: concept
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tags: [model-evaluation, calibration-testing, goodness-of-fit]
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last_updated: 2026-04-25
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## Definition
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Hosmer-Lemeshow（HL）检验是一种评估二分类模型预测概率校准程度的拟合优度检验，通过比较预测概率分箱后的观测正例数与期望正例数，判断模型预测与实际结果之间是否存在显著差异。p-value < 0.05 时拒绝原假设（模型校准良好），认为模型存在显著的校准偏差。
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## Algorithm
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1. 将样本按预测概率从小到大分箱（默认 10 箱，或自定义 g 组）
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2. 对每箱计算：
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- **观测正例数** $O_g = \sum_{i \in \text{group } g} y_i$
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- **期望正例数** $E_g = \sum_{i \in \text{group } g} \hat{p}_i$
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- **样本数** $n_g$
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3. 计算 HL 统计量：
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$$H = \sum_{g=1}^{G} \frac{(O_g - E_g)^2}{E_g (1 - E_g / n_g)}$$
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4. 自由度 $df = G - 2$（减去截距和斜率估计参数）
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5. 与 $\chi^2(df)$ 分布比较，$p = 1 - F_{H}(H)$
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## Interpretation
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```python
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from scipy.stats import chi2
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def hosmer_lemshow_test(y_true: pd.Series, y_pred: pd.Series, groups: int = 10) -> dict:
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data = pd.DataFrame({"y": y_true, "p": y_pred})
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data["bucket"] = pd.qcut(data["p"], groups, duplicates="drop")
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agg = data.groupby("bucket", observed=True).agg(
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n=("y", "count"),
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observed=("y", "sum"),
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expected=("p", "sum"),
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)
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hl_stat = (
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((agg["observed"] - agg["expected"])**2) /
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(agg["expected"] * (1 - agg["expected"] / agg["n"]))
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).sum()
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dof = len(agg) - 2
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p_value = 1 - chi2.cdf(hl_stat, dof)
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return {
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"HL_statistic": round(hl_stat, 4),
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"p_value": round(p_value, 6),
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"calibrated": p_value >= 0.05, # True = well calibrated
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"dof": dof,
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"groups_used": len(agg),
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}
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```
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| p-value | 判读 |
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|---------|------|
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| ≥ 0.05 | 🟢 模型校准良好，无显著证据表明预测概率偏离实际频率 |
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| < 0.05 | 🔴 拒绝原假设，模型存在显著校准偏差 |
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## Limitations
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1. **分组方式敏感**：不同分箱数量/方法导致不同结果，10 等分是惯例但非最优
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2. **样本量敏感**：大样本下即使微小偏差也能导致显著 p-value（实际影响可能很小）
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3. **掩盖子群体问题**：整体通过 HL 检验不等于所有子群体都校准良好
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4. **序贯分组问题**：qcut 在重复值多时可能合并箱子，需检查 `groups_used`
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## Alternatives
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- **Brier Score**：无需分组，对样本量稳健，但只能给出误差量级而非定位
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- **Spiegelhalter's Z-test**：基于 Brier Score 的统计检验
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- **Reliability Curves**：可视化诊断，比 HL 检验提供更多信息
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- **Expected Calibration Error (ECE)**：量化平均校准误差，解释性更强
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## Model QA 中的应用
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Model QA Specialist 将 HL 检验用于：
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1. **模型上线前验证**：新模型上线必须通过 HL 检验（p ≥ 0.05）
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2. **定期监控**：在 OOT 窗口上重复执行，监控校准随时间恶化趋势
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3. **子群体分层测试**：在关键子群体（高风险/低风险/新客户）上分别执行
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4. **Champion-Challenger**：对比 champion model vs challenger model 的 HL 结果
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## Relationship
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- **被依赖** [[Calibration-Testing]]：HL 检验是 Calibration Testing 的核心统计工具之一
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- **依赖** [[Discrimination-Metrics]]：先确认模型有区分能力（AUC/Gini 达标），再讨论校准
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- **依赖** [[Population-Stability-Index]]：PSI 漂移往往是 HL 检验失败的前兆
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- **依赖** [[SHAP]]：HL 检验发现校准问题后，用 SHAP waterfall 诊断具体原因
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- **支撑** [[specialized-model-qa]]（Source）：Model QA Specialist 校准测试步骤的核心工具
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